Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на mn. Докажите, что m - точный квадрат

Если m=1, то m является полным квадратом (), поэтому этот случай можно не рассматривать.Пусть m>1 не является полным квадратом, тогда в разложении m на простые множители (существование такого разложения гарантируется основной теоремой арифметики) хотя бы один показатель является нечетным числом. Не теряя общности, можно предположить, что это По условию где a - целое число. Разделим это равенство на m:Поскольку m+1 и na - целые числа, является целым числом, то есть делится на m, откуда делится на Отсюда следует, что n делится на следовательно делится на Теперь мы уже на финише. Из последнего рассуждения следует, что делится на na, естественно, делится на но (m+1) ну никак не может делиться на поскольку соседние натуральные числа взаимно просты (а m делится на ).Полученное противоречие доказывает, что m обязано быть полным квадратом.

Оценить ответ
Не устраивает ответ?

Если твой вопрос не раскрыт полностью, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти другие ответы по предмету Математика.

Найти другие ответы

Загрузить картинку (не более 2мб)
Недавние вопросы

Математика, опубликовано 22.12.2019

Решите пожалуйста.

Математика, опубликовано 09.07.2019

Найти 2/3 от числа 2

Другие вопросы в категории Математика

Математика, опубликовано 13.06.2019

Математика, опубликовано 13.06.2019

Математика, опубликовано 13.06.2019

Cos(3п/2-a)*sin(2п+a)

Математика, опубликовано 13.06.2019

(x+1)^2/6 +(x-1)^2/12-x^2-1/4=1

Вопросы из других категорий

Математика, опубликовано 13.06.2019

Помогите пожалуйста

Математика, опубликовано 13.06.2019

Y=2In x-x^5. помогите​